SOLUCION DE ECUACIONES LINEALES (metodo 3)

  En la clase de el dia 26 de julio vimos el tercer metodo para la solucion de ecuaciones lineales, en esta ocacion fue la matriz inversa. 

Hemos visto que este sistema se puede escribir en forma matricial del siguiente modo: A X = B.

• La matriz $A$ es de dimensión $nxn$ y contiene en cada fila los coeficientes de las incógnitas de cada ecuación.
• La matriz $x$ es de dimensión $nx1$ (una columna) y contiene las $n$ incógnitas del sistema.
• La matriz $b$ es de dimensión $nx1$ y contiene los términos independientes de las ecuaciones.

Antes de aplicar el método de matriz inversa, es crucial verificar que la matriz (A) sea regular. Esto implica comprobar que el determinante de la matriz no sea igual a cero. Además, la dimensión de la matriz debe ser cuadrada; es decir, debe ser una matriz de tamaño (n times n) donde (n) es el número de incógnitas en el sistema. Si estas condiciones no se cumplen, el método no podrá ser utilizado adecuadamente y podría llevar a conclusiones incorrectas.

 Este método transforma la matriz original en una forma de matriz identidad utilizando operaciones elementales de fila mientras simultáneamente se transforma la matriz identidad en la inversa. Los pasos se detallan a continuación:

1. Alinear: Comenzamos por formar una matriz aumentada ([A|I]), donde (I) es la matriz identidad.
2. Aplicar Gauss-Jordan: Utilizamos operaciones de fila hasta obtener la forma de ([I|A^{-1}]).
3. Extraer la Inversa: La matriz a la derecha (A^{-1}) es la inversa de (A).

Una vez que tenemos la matriz inversa, podemos usarla para resolver sistemas de ecuaciones lineales. En este contexto, una vez que hayamos calculado (A^{-1}), podemos encontrar la solución del sistema multiplicando la inversa por el vector (b):

La solución se puede expresar como (x = A^{-1}b).