DERIVADAS IMPLICITAS

 En esta clase de el 26 de marzo estuvimos viendo  como realizar derivadas implicitas .

Son aquellas funciones donde la variable dependiente no está despejada, por lo general en cálculo diferencial se utiliza a la variable "y", por otro lado en las derivadas algebraicas, trigonométricas, inversas, logarítmicas, exponenciales y de orden superior hemos estado usando funciones implícitas donde la variable dependiente se encuentra despejada.

Recordemos que las funciones implícitas son funciones que no están expresadas en la forma 

$y=f(x)$. Por ejemplo, $x^2+2xy=5$ es una función implícita.

En algunos casos, podemos reorganizar a la función implícita para obtener una función explícita de $x$. Por ejemplo, $x^2+2xy=5$ puede escribirse como:

$$y=\frac{5-x^2}{2x}$$

Luego, podríamos derivar esta función usando la regla del cociente.

Sin embargo, en muchos casos, la función implícita no puede ser expresada en la forma $y=f(x)$, como por ejemplo la función $x^2+3xy-4y^3=7$.

En estos caso, podemos usar el siguiente proceso para derivar este tipo de funciones:

Considera la siguiente función implícita:

$x^2+y^2=2$

Derivando a cada término con respecto a $x$, tenemos:

$$\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(y^2)=\frac{d}{dx}(2)$$

La derivada de $x^2$ en términos de $x$ es $2x$ y la derivada de 2 es 0, pero para el término $y^2$, tenemos que usar la regla de la cadena:

:

$$\frac{d}{dx}(y^2)=\frac{d}{dy}(y^2)\frac{dy}{dx}=2y\frac{dy}{dx}$$

Entonces, la derivada de la función es:

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0$$

Ahora, solo tenemos que reorganizar para $\frac{dy}{dx}$:

$$\frac{\mathrm{<span\; style="font-family:\; georgia;"><i>d</i></span>}\mathrm{<span\; style="font-family:\; georgia;"><i>y</i></span>}}{\mathrm{<span\; style="font-family:\; georgia;"><i>d</i></span>}\mathrm{<span\; style="font-family:\; georgia;"><i>x</i></span>}}<span\; style="font-family:\; georgia;"><i>=</i></span><span\; style="font-family:\; georgia;"><i>-</i></span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-family:\; georgia;"><i>2</i></span>}\mathrm{<span\; style="font-family:\; georgia;"><i>x</i></span>}}{\mathrm{<span\; style="font-family:\; georgia;"><i>2</i></span>}\mathrm{<span\; style="font-family:\; georgia;"><i>y</i></span>}}<span\; style="font-family:\; georgia;"><i>=</i></span><span\; style="font-family:\; georgia;"><i>-</i></span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-family:\; georgia;"><i>x</i></span>}}{\mathrm{<span\; style="font-family:\; georgia;"><i>y</i></span>}}$$

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{2x}{2y}=-\frac{x}{y}$$

Informacion :Neurochispas

Videos: la profe Lina